试题分析:(1)解三角形问题,一般利用正余弦定理进行变角转化. 由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,又A∈(0,π),B∈(0,π),所以有A=B或A+B=.又因为C=,得A+B=,与A+B=矛盾,所以A=B,因此A=.(2)求PM+PN的最大值,需先将PM+PN表示为α的函数解析式. 在Rt△PMC中,PM=PC·sin∠PCM=2sinα;在Rt△PNC中,PN=PC·sin∠PCN= PC·sin(π-∠PCB) =2sin[π-(α+)]=2sin (α+),α∈(0,),所以,PM+PN=2sinα+2sin (α+)=3sinα+cosα=2sin(α+).因为α∈(0,),所以α+∈(,),从而有sin(α+)∈(,1],即2sin(α+)∈(,2].于是,当α+=,即α=时,PM+PN取得最大值2. 解(1)由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB, 即sin2A=sin2B,又A∈(0,π),B∈(0,π), 所以有A=B或A+B=. 3分 又因为C=,得A+B=,与A+B=矛盾, 所以A=B,因此A=. 6分 (2)由题设,得 在Rt△PMC中,PM=PC·sin∠PCM=2sinα; 在Rt△PNC中,PN=PC·sin∠PCN= PC·sin(π-∠PCB) =2sin[π-(α+)]=2sin (α+),α∈(0,). 8分 所以,PM+PN=2sinα+2sin (α+)=3sinα+cosα=2sin(α+). 12分 因为α∈(0,),所以α+∈(,),从而有sin(α+)∈(,1], 即2sin(α+)∈(,2]. 于是,当α+=,即α=时,PM+PN取得最大值2. 16分 |