(2013•浙江)如图,在四面体A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC
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(2013•浙江)如图,在四面体A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC
题型:不详
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(2013•浙江)如图,在四面体A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2
.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
(1)证明:PQ∥平面BCD;
(2)若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°,求∠BDC的大小.
答案
(1)见解析 (2)60°
解析
(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3CF,连接OP、OF、FQ
∵△ACD中,AQ=3QC且DF=3CF,∴QF∥AD且QF=
AD
∵△BDM中,O、P分别为BD、BM的中点
∴OP∥DM,且OP=
DM,结合M为AD中点得:OP∥AD且OP=
AD
∴OP∥QF且OP=QF,可得四边形OPQF是平行四边形
∴PQ∥OF
∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD,∴PQ∥平面BCD;
(2)过点C作CG⊥BD,垂足为G,过G作GH⊥BM于H,连接CH
∵AD⊥平面BCD,CG⊂平面BCD,∴AD⊥CG
又∵CG⊥BD,AD、BD是平面ABD内的相交直线
∴CG⊥平面ABD,结合BM⊂平面ABD,得CG⊥BM
∵GH⊥BM,CG、GH是平面CGH内的相交直线
∴BM⊥平面CGH,可得BM⊥CH
因此,∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角,可得∠CHG=60°
设∠BDC=θ,可得
Rt△BCD中,CD=BDcosθ=2
cosθ,CG=CDsinθ=
sinθcosθ,BG=BCsinθ=2
sin
2
θ
Rt△BMD中,HG=
=
;Rt△CHG中,tan∠CHG=
=
∴tanθ=
,可得θ=60°,即∠BDC=60°
举一反三
设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=
;类比这个结论可知:四面体S-ABC的四个面的面积分别为S
1
、S
2
、S
3
、S
4
,内切球的半径为r,四面体S-ABC的体积为V,则r=( )
A.
B.
C.
D.
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如图所示,正方体的棱长为1,A是其所在棱的中点,则点A在空间直角坐标系中的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
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已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( )
A.22πR
2
B.
πR
2
C.
πR
2
D.
πR
2
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