试题分析:(Ⅰ)先点D作DE ⊥ A1 C 于E点,取AC的中点F,连BF ﹑EF,然后通过平面和平面垂直的性质定理及直三棱柱的定义可证EF∥AA1,又点F是AC的中点,则DB = BB1,即为的中点;或者先证,再证得. (Ⅱ)先在点D处建立空间直角坐标系,然后求出两平面DA1C和ADA1 的法向量分别为和,由二面角的平面角为可知,得 据题意有:,从而 =.或者利用几何法可求. 试题解析:(Ⅰ)过点D作DE ⊥ A1 C 于E点,取AC的中点F,连BF ﹑EF ∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C,面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C 故直线面 3分 又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC,易知BF⊥AC,∴BF⊥面AA1C1C 由此知:DE∥BF ,从而有D,E,F,B共面,又易知BB1∥面AA1C1C,故有DB∥EF ,从而有EF∥AA1,又点F是AC的中点,所以DB = EF = AA1= BB1,即为的中点. 6分 (Ⅱ)解法1:建立如图所示的直角坐标系,
设AA1= 2b ,AB=BC = ,则D(0,0,b), A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 所以, 设面DA1C的法向量为 则 可取 8分 又可取平面AA1DB的法向量:
据题意有: 解得: = 12分 (Ⅱ)解法2:延长A1 D与直线AB相交于G,易知CB⊥面AA1B1B, 过B作BH⊥A1 G于点H,连CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH, 由此知∠CHB为二面角A -A1D - C的平面角; 9分 设AA1= 2b ,AB=BC =;在直角三角形A1A G中,易知AB = BG. 在DBG中,BH = = , CHB中,tan∠CHB = = ,据题意有: = tan600 = ,解得:所以 = 12分 |