将棱长为的正方体截去一半（如图甲所示）得到如图乙所示的几何体，点分别是的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求三棱锥的体积.

题型：不详难度：来源：

将棱长为的正方体截去一半（如图甲所示）得到如图乙所示的几何体，点分别是的中点.

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.

答案

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ．

解析

试题分析：（Ⅰ）证明：，证明两线垂直，只需证一线垂直另一线所在的平面，因此本题的关键是找平面，注意到过的线中，可考虑连接，看是否垂直平面,因此本题转化为只要证明即可，由平面几何知识易证；（Ⅱ）求棱锥的体积，直接求，底面面积及高都不好求，但注意到棱锥与棱锥是一个几何体，而这个棱锥的高为，而的面积，故体积容易求，值得注意的是，当一个几何体的体积不好求是，可进行转化成其它几何体来求．
试题解析：（Ⅰ）证：连接，交于点，∵平面，平面,∴，
∵点，分别是，　的中点，　∴，　又∵，，∴≌，∴，又∵,∴，
∴，即，又∵,∴平面,
又∵平面,∴；
（Ⅱ）解：∵平面，∴是三棱锥的高，且，
∵点，分别是，的中点，∴，∴，∴