已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点。(1)求证:直线MF∥平面ABC

已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点。(1)求证:直线MF∥平面ABC

题型:不详难度:来源:
已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点。
(1)求证:直线MF∥平面ABCD
(2)求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小。

答案
(1)延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN。因为F是BB1的中点,所以F为C1N的中点,B为CN的中点。
又M是线段AC1的中点,故MF∥AN。
MF平面ABCDAN平面ABCD
MF∥平面ABCD。    
(2)易得BD⊥ACC1A1,又AC1ACC1A1
∴BD⊥AC1,∴BD∥NA,∴AC1⊥NA。
又由BD⊥AC可知NA⊥AC,
∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角。
在Rt△C1AC中,,  
故∠C1AC=30°
∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°

解析

举一反三
(本小题满分12分)如图所示,已知中,AB=2OB=4,D为AB的中点,若绕直线AO旋转而成的,记二面角B—AO—C的大小为(I)若,求证:平面平面AOB;(II)若时,求二面角C—OD—B的余弦值的最小值。

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正方体木块的表面上有一动点P由顶点A出发按下列规则向点移动:①点P只能沿正方体木块的棱或表面对角线移动;②点P每一变化位置,都使P点到点的距离缩短,③若在面对角线上移动时,不能在中点处转入另一条面对角线,动点P共有_______种不同的运行路线.
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如图四棱锥,底面四边形ABCD满足条件,侧面SAD垂直于底面ABCD,

(1)若SB上存在一点E,使得平面SAD,求的值;
(2)求此四棱锥体积的最大值;
(3)当体积最大时,求二面角A-SC-B大小的余弦值.
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在正方体­中,点P是面内一动点,若点P到直线BC与直线的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是         (       )
A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线

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如图已知正四棱柱ABCD----A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1的中点,点F为BD1的中点。

(1)证明:EF⊥平面;
(2)求点A1到平面BDE的距离;
(3)求BD1与平面BDE所成的角的余弦值.
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