(1)以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设PD=CD=2,则A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0),=(2,0,-2),=(0,1,1),=(2,2,0)。 设=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量, 则由,得;取x=-1,=(1,-1,1), ∵·=2-2=0,∴⊥,又PA⊄平面BDE,∴PA∥平面BDE。 (2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量,又==(2,0,0)是平面DEC的一个法向量。 设二面角B-DE-C的平面角为θ,由图可知θ=<,>, ∴ cosθ=cos<,>=, 故二面角B-DE-C余弦值为。 (3)∵=(2,2,-2),=(0,1,1),∴·=0+2-2=0,∴PB⊥DE。 假设棱PB上存在点F,使PB平面DEF,设=λ (0<λ<1), 则 =(2λ, 2λ,-2λ),=+=(2λ, 2λ,2-2λ), 由·="0" 得 4λ2 +4λ2-2λ(2-2λ)=0, ∴ λ= (0,1),此时PF=PB, 即在棱PB上存在点F,PF=PB,使得PB⊥平面DEF。 |