18.解: 方法一、证明:(Ⅰ)∵正方体中,面, 又∴平面平面, ………………2分 ∵时,为的中点,∴, 又∵平面平面, ∴平面, 又平面,∴平面平面.………4分 (Ⅱ)∵,为线段上的点, ∴三角形的面积为定值,即, ………………6分 又∵平面,∴点到平面的距离为定值,即, ………………8分 ∴三棱锥的体积为定值,即. 也即无论为何值,三棱锥的体积恒为定值;………………………10分 (Ⅲ)∵由(Ⅰ)易知平面, 又平面,∴, …………………………12分 即异面直线与所成的角为定值,从而其余弦值为.…………………13分 方法二、如图,以点为坐标原点,建立如图所示的坐标系. (Ⅰ)当时,即点为线段的中点,则,又、 ∴,,设平面的法向量为,……1分 则,即,令,解得, …2分 又∵点为线段的中点,∴,∴平面, ∴平面的法向量为, ……………3分 ∵, ∴平面平面, ………………………4分 (Ⅱ)略; (Ⅲ)∵,∴, …………………10分 又、、, ∴,, ……………………………11分 ∵ …………………………………12分 ∴不管取值多少,都有,即异面直线与所成的角的余弦值为0.……13分 |