解:(Ⅰ)证明:因为底面, 所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角 …………………1分 由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1易求得,AP=PD=,…………………3分 又因为AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以. …………………4分 因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD, 所以SA⊥PD, …………………………………………………………5分 由于SA∩AP=A 所以平面SAP.…………………6分 (Ⅱ)设Q为AD的中点,连结PQ,…………………7分
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD, 则平面SAD⊥平面PAD …………………8分 ,PQ⊥平面SAD,SD平面SAD, . 过Q作QR,垂足为,连接,则. 又,, ∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角.…………10分 容易证明△DRQ∽△DAS,则. 因为,, 所以. …………………12分 在Rt△PRQ中,因为PQ=AB=1,, 所以. …………………13分 所以二面角A-SD-P的余弦为.…………………14分 解法二:因为底面, 所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角. ……1分 由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1 建立空间直角坐标系(如图)
由已知,P为BC中点. 于是A(0,0,0)、B(1,0,0)、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)……………3分 (Ⅰ)易求得, ,.…………………4分 因为,. 所以,. 由于,所以平面. …………………6分 (Ⅱ)设平面SPD的法向量为. 由,得解得, 所以. …………………9分 又因为AB⊥平面SAD,所以是平面SAD的法向量, 易得.…………………9分 所以. …………………13分 所以所求二面角的余弦值为.…………………14分 |