(1)∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0) (-2,2,2),(2,2,0)(-2,2,2)(2,2,0)=0, ∴
(另解)作DH⊥EF于H,连BH,GH,由平面平面知:DH⊥平面EBCF, 而EG平面EBCF,故EG⊥DH。又四边形BGHE为正方形,∴EG⊥BH, BHDH=H,故EG⊥平面DBH,而BD平面DBH,∴ EG⊥BD。 4分 (2)∵AD∥面BFC,所以VA-BFC==4(4-x)x 即时有最大值为。 8分
(3)设平面DBF的法向量为,∵AE="2," B(2,0,0),D(0,2,2), F(0,3,0),∴(-2,2,2),则 ,即, 取x=3,则y=2,z=1,∴ 面BCF的一个法向量为 则cos<>= 由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为- (另解)作DH⊥EF于H,作HM⊥BF,连DM。由三垂线定理知 BF⊥DM,∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。由△HMF∽△EBF,知,而HF=1,BE=2,,∴HM=。又DH=2,∴在Rt△HMD中,tan∠DMH=-,因∠DMH为锐角,∴cos∠DMH=, 而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角, 故二面角D-BF-C的余弦值为-。 12分 |