如图，在长方体中，，且.（Ⅰ）求证：对任意，总有；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；（Ⅲ）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

题型：不详难度：来源：

如图，在长方体中，，且.

（Ⅰ）求证：对任意，总有；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

答案

（Ⅰ）证明略
（Ⅱ）
（Ⅲ）

解析

解：（Ⅰ）如图，以为坐标原点，分别以
所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
不妨设.
则,,,
,,,
从而,，
所以,即；能                   -----------------4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及得，，
设平面的法向量为，则
，解方程组得，
从而可取平面的法向量为，
又取平面的法向量为，且设二面角P-AB1-B为，
所以；           --------------------------------------------9分
（Ⅲ）假设存在实数满足条件，由题结合图形，只需满足向量分别与向量的所成角相同，即有，
即，解得，所以存在满足题意的实数，使得在平面上的射影平分.--------14分