如图,在长方体中,,且.(Ⅰ)求证:对任意,总有;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值;(Ⅲ)是否存在,使得在平面上的射影平分?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.

如图,在长方体中,,且.(Ⅰ)求证:对任意,总有;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值;(Ⅲ)是否存在,使得在平面上的射影平分?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.

题型:不详难度:来源:
如图,在长方体中,,且.

(Ⅰ)求证:对任意,总有
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在,使得在平面上的射影平分?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
答案

(Ⅰ)证明略
(Ⅱ)
(Ⅲ)
解析
解:(Ⅰ)如图,以为坐标原点,分别以
所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,
不妨设.
,,,
,,,
从而,
所以,即;能                   -----------------4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)及得,
设平面的法向量为,则
,解方程组得
从而可取平面的法向量为
又取平面的法向量为,且设二面角P-AB1-B为
所以;           --------------------------------------------9分
(Ⅲ)假设存在实数满足条件,由题结合图形,只需满足向量分别与向量的所成角相同,即有
,解得,所以存在满足题意的实数,使得在平面上的射影平分.--------14分
举一反三
(本小题14分)

如图4,正方体中,点E在棱CD上。
(1)求证:
(2)若E是CD中点,求与平面所成的角;
(3)设M在上,且,是否存在点E,使平面⊥平面,若存在,指出点E的位置,若不存在,请说明理由。
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已知集合A=,B=,则下列命题中正确的是(   )
A.B.
C.D.

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如图,直四棱柱中,底面的菱形,,点在棱上,点是棱的中点.

(1)若的中点,求证:
(2)求出的长度,使得为直二面角.
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(本小题满分12分)
如图,在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.



 
  (I)求证:PD⊥BC;  (II)求二面角B—PD—C的大小.
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(本小题13分)
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、G分别是A1A,D1C,AD的中点.
求证:(Ⅰ)MN//平面ABCD;(Ⅱ)MN⊥平面B1BG.
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