解法一:(Ⅰ)取中点,连结. 为正三角形,. 正三棱柱中,平面平面, 平面. 连结,在正方形中,分别为 的中点, , . 在正方形中,, 平面. (Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面. , 为二面角的平面角. 在中,由等面积法可求得, 又, . 所以二面角的大小为. (Ⅲ)中,,. 在正三棱柱中,到平面的距离为. 设点到平面的距离为. 由得, . 点到平面的距离为. 解法二:(Ⅰ)取中点,连结. 为正三角形,. 在正三棱柱中,平面平面, 平面. 取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,, ,,. ,, ,. 平面. (Ⅱ)设平面的法向量为. ,. ,,
令得为平面的一个法向量. 由(Ⅰ)知平面, 为平面的法向量. ,. 二面角的大小为. (Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量, . 点到平面的距离 |