已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点，使得EF=BE，连接CF。求证：四边形BCFE是菱形。

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已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点，使得EF=BE，连接CF。
求证：四边形BCFE是菱形。

答案

证明：BE=2DE，EF=BE，
∴EF=2DE，
∵ D、E分别是AB、AC的中点，
∴ BC=2DE且DE∥BC，
∴EF=BC ，
又EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又EF=BE，
∴四边形BCFE是菱形。

举一反三

定义{a，b，c}为函数y=ax²+bx+c的“特征数”，如：函数y=x²-2x+3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y=2x+3的“特征数”是{0，2，3}，函数y=-x的“特征数”是{0，-1，0}。

（1）将“特征数”是{0，

，1}的函数图象向下平移2个单位长度，得到一个新函数，这个新函数的解析式是____；
（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A、B两点，与直线x=

，分别交于D、C两点，判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；
（3）若（2）中的四边形与“特征数”是{1，-2b，b²+

}的函数图象的有交点，求满足条件的实数b的取值范围。

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如图，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F。
求证：四边形DECF为菱形。

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已知：将函数y=

x的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图象。

（1）写出这个新的函数的解析式；
（2）若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于O、A两点，与直线x=-

，交于C、B两点，试判断以A、B、C、O四点为顶点的四边形形状，并说明理由；
（3）若（2）中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数y=x²-2bx+b²+

的图象的一部分，求满足条件的实数b的取值范围。

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已知如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠BAC=105°，AD=CD=4，求BC的长。

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如图，□ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是______（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”），请作出证明。

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