(Ⅰ)证明:在四棱锥 中,因 底面 , 平面 ,故 .
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, 平面 . 而 平面 , . (Ⅱ)证明:由 , ,可得 .
是 的中点, . 由(Ⅰ)知, ,且 ,所以 平面 . 而 平面 , .
底面 在底面 内的射影是 , , . 又 ,综上得 平面 . (Ⅲ)解法一:过点 作 ,垂足为 ,连结 .则(Ⅱ)知, 平面 , 在平面 内的射影是 ,则 . 因此 是二面角 的平面角. 由已知,得 .设 , 可得 . 在 中, , , 则 . 在 中, . 所以二面角 的大小是 . 解法二:由题设 底面 , 平面 ,则平面 平面 ,交线为 . 过点 作 ,垂足为 ,故 平面 .过点 作 ,垂足为 ,连结 ,故 .因此 是二面角 的平面角. 由已知,可得 ,设 , 可得 .
, . 于是, . 在 中, . 所以二面角 的大小是 . |