(本题满分16分)已知在棱长为的正方体中,为棱的中点,为正方形的中心,点分别在直线和上.(1)若分别为棱,的中点,求直线与所成角的余弦值;(2)若直线与直线垂直

(本题满分16分)已知在棱长为的正方体中,为棱的中点,为正方形的中心,点分别在直线和上.(1)若分别为棱,的中点,求直线与所成角的余弦值;(2)若直线与直线垂直

题型:不详难度:来源:
(本题满分16分)已知在棱长为的正方体中,为棱的中点,为正方形的中心,点分别在直线上.

(1)若分别为棱的中点,求直线所成角的余弦值;
(2)若直线与直线垂直相交,求此时线段的长;
(3)在(2)的条件下,求直线所确定的平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
答案
(1)
(2)
(3)
解析
(1)以D为空间直角坐标系的原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,……3分

所成的角为

直线所成角的余弦值为.……………………………………… 5分
(2)设点,则===
      即 
……⑴……………………………………………………………………8分
设直线与直线确定平面,其法向量=
,令,得=
设直线与直线确定平面,其法向量=
,令,得=
与直线相交, =,……………⑵…………11分
由⑴⑵联立方程组   解得,
… 13分
(本小问也可落实三条直线共面的条件得到点坐标)
(3)由(2)得=,平面的法向量==
直线所确定的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
……………………………………………………………………………………… 16分
举一反三
(本小题满分14分)
如图,正四棱柱中,,点上且.

(1) 证明:平面;
(2) 求二面角的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
如下图所示,在单位正方体ABCD—A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值,则此最小值为(   )

A.2B.
C.2+D.

题型:不详难度:| 查看答案
已知是不同的直线,是不重合的平面,给出下列命题:
①若
②若
③若
是两条异面直线,若
上述命题中,真命题的序号是______________(写出所有真命题的序号).
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长为DBC中点,MBB1上,且
.
(1)求证:
(2)求四面体的体积.
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如图,ABCD是边长为2的正方形,ABEF是矩形,且二面角CABF是直二面角,AF=1,GEF的中点.

(1)求证:平面AGC平面BGC
(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
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