(1)在平面内过点C作CE⊥PQ于点E, 由题知点E与点A不重合, 连接EB.
, 即点C在平面内的射影为点E, 所以. 又. , 故 BE⊥PQ, 又 , , 平面EBC, 故BC⊥PQ. (2)由(1)知, O点即为E点, 设点F是O在平面ABC内的射影, 连 接BF并延长交AC于点D, 由题意可知, 若F是△ABC的重心, 则点D为AC的中点. , 平面角为直二面角, , 由三垂线定理可知AC⊥BF, 即AC⊥BD, , 即k=1;反之, 当k=1时, 三棱锥O—ABC为正三棱锥, 此时, 点O在平面ABC内的射影恰好为△ABC的重心. (3)由(2)知, 可以O为原点, 以OB、OA、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O—xyz(如图所示)
不妨设, 在Rt△OAB中, ∠ABO=∠BAO=45°, 所以BO=AO=, 由CA=CB=kAB且得, AC=2, , 则. 所以 设是平面ABC的一个法向量, 由得 取x="1," 得 易知是平面的一个法向量, 设二面角B-AC-P的平面角为, 所以, 由图可知, 二面角B-AC-P的大小为. |