本题主要考查直线与平面垂直的判断与性质定理、平面与平面垂直的性质,二面角的求解,以及考查逻辑思维能力、空间想象力与简单运算能力、同时考查转化与化归的思想. 解法一:
(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G,连接BG, 由此知即为直角三角形,故. 又, 所以,. 作,, 故平面EDC,内的两条相交直线都垂直.
, , 所以,. (Ⅱ) 由知 . 故为等腰三角形. 取中点F,连接,则. 连接,则. 所以,是二面角的平面角. 连接AG,AG=,, , 所以,二面角的大小为120°. 解法二: 以D为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系,
设则,,. (Ⅰ), 设平面的法向量为, 由, 故 令, 又设,则 ,
设平面的法向量, 由,得 , 故 . 令,则. 由平面得. 故. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知,取中点F,则,, 故,由此得. 又,故由此得, 向量与的夹角等于二面角的平面角. 于是 , 所以,二面角的大小为120°. 点评:对立体几何的考查是一直解答题中比较常规、变化不大的题。但今年(Ⅰ)的问题的设置由证明空间位置关系变为证明西安段之间的相等关系,在力求创新考查,但实际还是考查空间直线、平面之间的位置的关系的证明及应用. |