19.解:方法一: (Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC中点, ,………………………………(2分) (Ⅱ)
,
………..(5分) 又, PA与平面PBC所成的角的大小等于,
………………(8分) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,,∴F是O在平面PBC内的射影 ∵D是PC的中点, 若点F是的重心,则B,F,D三点共线, ∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD, ,即…………………..(10分) 反之,当时,三棱锥为正三棱锥, ∴O在平面PBC内的射影为的重心…………………………..(12分) 方法二: ,,
以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系(如图)
设则, 设,则 (Ⅰ)D为PC的中点, , 又 ,
(Ⅱ),即, 可求得平面PBC的法向量, , 设PA与平面PBC所成的角为,则 , (Ⅲ)的重心, , , 又, ,即, 反之,当时,三棱锥为正三棱锥, ∴O在平面PBC内的射影为的重心 |