如图所示,四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角P—CD—B为45°.(1)求证:AF∥平面PEC;(2)求
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如图所示,四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角P—CD—B为45°.(1)求证:AF∥平面PEC;(2)求
题型:不详
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如图所示,四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角P—CD—B为45°.
(1)求证:AF∥平面PEC;
(2)求证:平面PEC⊥平面PCD;
(3)设AD=2,CD=2
,求点A到平面PEC的距离.
答案
(1)(2)证明略,(3)1
解析
(1) 取PC的中点G,
连接EG、FG,
∵F为PD的中点,
∴GF
CD.
∵CD
AB,又E为AB的中点,
∴AE
GF.
∴四边形AEGF为平行四边形.
∴AF∥GE,且AF
平面PEC,因此AF∥平面PEC.
(2) PA⊥平面ABCD,
则AD是PD在底面上的射影.又ABCD为矩形,
∴CD⊥AD,则CD⊥PD.因此CD⊥AF,
∠PDA为二面角P-CD-B的平面角,即∠PDA=45°.
F为Rt△PAD斜边PD的中点,
AF⊥PD,PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD.
由(1)知AF∥EG.∴EG⊥平面PCD.
∵EG
平面PEC,∴平面PEC⊥平面PCD.
(3) 由(1)(2)知AF∥平面PEC,平面PCD⊥平面PEC,过F作FH⊥PC交PC于H,则FH⊥平面PEC.
∴FH的长度为F到平面PEC的距离,
即A到平面PEC的距离.
在△PFH与△PCD中,∠P为公共角,
∠FHP=∠CDP=90°,
∴△PFH∽△PCD,∴
=
.
∵AD=2,PF=
,PC=
=
=4,
∴FH=
×2
=1.
∴A到平面PEC的距离为1.
举一反三
如图所示,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,
(1)证明:平面PBE⊥平面PAC;
(2)如何在BC上找一点F,使AD∥平面PEF?并说明理由.
题型:不详
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)如图所示,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯
形,∠BAD=∠FAB=90°,BC
AD,BE
FA,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?
(3)设AB=BE,证明:平面ADE⊥平面CDE.
题型:不详
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|
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如图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=" "
3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.
(1)求AH∶HD;
(2)求证:EH、FG、BD三线共点.
题型:不详
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如图所示,正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,M、N分别是A
1
B
1
,B
1
C
1
的中点.问:
(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;
(2)D
1
B和CC
1
是否是异面直线?说明理由.
题型:不详
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如图,E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点,且EH与FG相
交于点O.求证:B、D、O三点共线.
题型:不详
难度:
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