如图1,,,过动点A作,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿将△折起,使(如图2所示).(1)当的长为多少时,三棱锥的体积最大;(2)当三棱锥的体积最大时

如图1,,,过动点A作,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿将△折起,使(如图2所示).(1)当的长为多少时,三棱锥的体积最大;(2)当三棱锥的体积最大时

题型:不详难度:来源:
如图1,,过动点A,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿将△折起,使(如图2所示).

(1)当的长为多少时,三棱锥的体积最大;
(2)当三棱锥的体积最大时,设点分别为棱的中点,试在棱上确定一点,使得,并求与平面所成角的大小.
答案
(1)时,三棱锥的体积最大.(2)当时,与平面所成角的大小
解析

试题分析:(1)设,则.又,所以.由此易将三棱锥的体积表示为的函数,通过求函数的最值的方法可求得它的最大值.
(2)沿将△折起后,两两互相垂直,故可以为原点,建立空间直角坐标系,利用空间向量即可找到点N的位置,并求得与平面所成角的大小.
试题解析:(1)解法1:在如图1所示的△中,设,则
知,△为等腰直角三角形,所以.
由折起前知,折起后(如图2),,且
所以平面.又,所以.于是


当且仅当,即时,等号成立,
故当,即时,三棱锥的体积最大.
解法2:同解法1,得
,由,且,解得
时,;当时,
所以当时,取得最大值.
故当时,三棱锥的体积最大.
(2)以为原点,建立如图a所示的空间直角坐标系
由(1)知,当三棱锥的体积最大时,
于是可得

,则.因为等价于,即
,故.
所以当(即的靠近点的一个四等分点)时,
设平面的一个法向量为,由
可取
与平面所成角的大小为,则由,可得
,即
举一反三
一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(     )
A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π

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某几何体的三视图(单位:cm)如右图所示,则此几何体的体积等于    cm3

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某几何体的三视图如图所示,则它的表面积是(    )
A.B.C.D.

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下列几何体各自的三视图,其中有且仅有两个三视图完全相同的是(    )
A.①②B.②④C.①③D.①④

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一个几何体的正视图、侧视图、和俯视图形状都相同,大小均相等,则这个几何体不可以是(  )
A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱

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