本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,其中建立空间坐标系,将空间线线夹角及二面角问题转化为空间向量夹角问题,是解答本题的关键. 由题意可知,AP、AD、AB两两垂直,可建立空间直角坐标系A-xyz,求出图中各点坐标 (1)求出异面直线AF,BG的方向向量,根据两个向量的数量积为0,两个向量垂直,易得异面直线AF,BG所成的角的大小为 (2)求出平面APB的法向量为 n和设平面CPD的法向量为m, ,代入向量夹角公式 ,可得面APB与面CPD所成的锐二面角的大小 解 由题意可知:AP、AD、AB两两垂直,可建立空间直角坐标系A-xyz
由平面几何知识知:AD=4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ), C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1)=(1,0,1),=(-1,1,1) ∴·=0, ∴AF与BG所成角为 . (2) 可证明AD⊥平面APB, ∴平面APB的法向量为n=(0,1,0) 设平面CPD的法向量为m=(1,y,z) 由 Þ 故m=(1,1,2) ∵cos<m,n>= ∴平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值为. |