如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成的角的余弦值是( ) A.B.C.D.
题型:不详难度:来源:
如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成的角的余弦值是( ) |
答案
C |
解析
∵M、N分别是A1B1、BB1的中点,而A1B1=BB1=1,∴B1M=B1N=1/2。 ∵B1E是MA平移所得,∴B1E∥MA、B1E=MA,∴AEB1M是平行四边形,∴AE=B1M=1/2, ∴BE=AB-AE=1-1/2=1/2。 ∵B1F是NC平移所得,∴B1F∥NC、B1F=NC,∴CFB1N是平行四边形,∴FC=B1N=1/2。 ∵ABCD-AB1C1D1是正方体,∴ABCD是正方形,∴BE⊥BC, ∴CE^2=BE^2+BC^2=(1/2)^2+1=5/4。 ∴FC⊥平面ABCD,∴FC⊥CE,∴EF=√(FC^2+CE^2)=√[(1/2)^2+5/4]=√6/2。 容易求出:B1E=B1F=√[(1/2)^2+1]=√5/2。 ∴sin[(1/2)∠EB1F]=(1/2)EF/B1E=(1/2)×(√6/2)/(√5/2)=√6/(2√5)。 ∴cos∠EB1F=1-2{sin[(1/2)∠EB1F]}^2=1-2×6/(4×5)=2/5。 ∵B1E∥MA、B1F∥NC,∴∠EB1F=AM与CN所成的角。 ∴AM与CN所成角的余弦值是2/5。 |
举一反三
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( ) |
在三棱锥P-ABC中, , ,BC=5,又PA=PB=PC=AC,则点P到平面ABC的距离是 . |
(本小题满分12分)如图,在空间四边形PABC中, , , .求证:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021094330-30675.gif) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021094330-73578.jpg) |
(本小题满分12分)如图,ABCD和ABEF都是正方形, ,且 .证明: 平面BCE.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021094321-25410.jpg) |
若地球半径为R,在北纬45°圈上有A、B两点,且这两点间经度差为900,则此两点的球面距离为( )。 A. B. C. D.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021094315-41711.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021094315-87246.png) |
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