(1)当t=2时,f(x)=x+,f′(x)=1-=>0解得x>,或x<-. ∴函数f(x)有单调递增区间为(-∞,),(,+∞) (2)设M、N两点的横坐标分别为x1、x2, ∵f′(x)=1-,∴切线PM的方程为:y-(x1+)=(1-)(x-x1). 又∵切线PM过点P(1,0),∴有0-(x1+)=(1-)(1-x1). 即x12+2tx1-t=0.(1) 同理,由切线PN也过点(1,0),得x22+2tx2-t=0.(2) 由(1)、(2),可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的两根, ∴ (*) |MN|== | [(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-)2] |
把(*)式代入,得|MN|=, 因此,函数g(t)的表达式为g(t)=(t>0) (3)易知g(t)在区间[2,n+]上为增函数, ∴g(2)≤g(ai)(i=1,2,,m+1). 则m•g(2)≤g(a1)+g(a2)++g(am). ∵g(a1)+g(a2)++g(am)<g(am+1)对一切正整数n成立, ∴不等式m•g(2)<g(n+)对一切的正整数n恒成立m<, 即m<对一切的正整数n恒成立 ∵n+≥16, ∴≥=. ∴m<. 由于m为正整数,∴m≤6.又当m=6时,存在a1=a2═am=2,am+1=16,对所有的n满足条件. 因此,m的最大值为6. |