一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动,则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .
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一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动,则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .
题型:不详
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一个半径为1的小球在一个内壁棱长为
的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动,则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是
.
答案
解析
试题分析:如图甲,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为
,作平面
//平面
,与小球相切于点
,则小球球心
为正四面体
的中心,
,垂足
为
的中心.
因
,
故
,从而
.
记此时小球与面
的切点为
,连接
,则
.
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为
)相切时的情况,易知小球在面
上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为
,如图乙.记正四面体的棱长为
,过
作
于
.
因
,有
,故小三角形的边长
.
小球与面
不能接触到的部分的面积为(如答图2中阴影部分)
.
又
,
,所以
.
由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为
.
举一反三
如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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已知空间4个球,它们的半径分别为2, 2, 3, 3,每个球都与其他三个球外切,另有一个小球与这4个球都外切,则这个小球的半径为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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若两个球的体积之比为
,则它们的表面积之比为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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两球的体积之比为8:1,则它们的表面积之比为( )
A.8:1
B.4:1
C.
:1
D.2:1
题型:不详
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如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB//CD,AB=AD=
,点M在线段EC上且不与E、C垂合.
(1)当点M是EC中点时,求证:BM//平面ADEF;
(2)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为
时,求三棱锥M—BDE的体积
题型:不详
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