如图,长方体中,,点E是AB的中点.(1)求三棱锥的体积;(2)证明: ; (3)求二面角的正切值.
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如图,长方体中,,点E是AB的中点.(1)求三棱锥的体积;(2)证明: ; (3)求二面角的正切值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,长方体
中,
,点E是AB的中点.
(1)求三棱锥
的体积;
(2)证明:
;
(3)求二面角
的正切值.
答案
(1)1;(2)详见解析;(3)
解析
试题分析:(1)求四面体的体积,当高不好确定时候,可考虑等体积转化,该题中
,高
,可求体积;(2)证明直线和直线垂直,可先证明直线和平面垂直,由
,从而
面
,所以
,(3) 求二面角的平面角,可以利用几何法,先找到二面角的平面角,然后借助平面图形去计算,∵
,所以
,进而可证
,
就是
的平面角,二面角也可以利用空间向量法,建立适当的空间直角坐标系,把相关点的坐标表示出来,计算两个半平面的法向量,进而求法向量的夹角,然后得二面角的余弦值.
试题解析:(1)解:在三棱锥D
1
-DCE中,D
1
D⊥平面DCE,D
1
D=1
在△DCE中,
,
CD=2,CD
2
=CE
2
+DE
2
∴CE⊥DE.
∴
∴三棱锥D
1
-DCE的体积
. =
4分
(2)证明:连结AD
1
,由题可知:四边形ADD
1
A
1
是正方形
∴A
1
D⊥AD
1
又∵AE⊥平面ADD
1
A
1
,A
1
D
平面ADD
1
A
1
∴AB⊥AD
1
又∵AB
平面AD
1
E,AD
1
平面A D
1
E AB
AD
1
=A
∴A
1
D⊥平面AD
1
E 又∵D
1
E
平面AD
1
E
∴A
1
D⊥D
1
E 8分
(3)根据题意可得:D
1
D⊥平面ABCD
又因为CE
平面ABCD,所以D
1
D⊥CE。
又由(1)中知,DE⊥CE,D
1
D
平面D
1
DE,DE
平面D
1
DE,D
1
D
DE=D,
∴CE⊥平面D
1
DE,又∵D
1
E
平面D
1
DE ∴CE⊥D
1
E.
∴∠D
1
ED即为二面角D
1
―EC―D的一个平面角.
在Rt△D
1
DE中,∠D
1
DE=90°,D
1
D="1," DE=
∴
∴二面角D
1
―ED―D的正切值是
12分
举一反三
已知直角三角形ABC,其三边分为a、b、c(a>b>c).分别以三角形的a边,b边,c边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,其表面积和体积分别为S
1
,S
2
,S
3
和V
1
,V
2
,V
3
.则它们的关系为( )
A.S
1
>S
2
>S
3
, V
1
>V
2
>V
3
B.S
1
>S
2
>S
3
, V
1
=V
2
=V
3
C.S
1
<S
2
<S
3
, V
1
<V
2
<V
3
D.S
1
<S
2
<S
3
, V
1
=V
2
=V
3
题型:不详
难度:
|
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已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2,这个球的表面积为12π,则这个正四棱柱的体积为
.
题型:不详
难度:
|
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如图,三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的侧棱AA
1
⊥底面ABC,∠ACB = 90°,E是棱CC
1
上中点,F是AB中点,AC = 1,BC = 2,AA
1
= 4.
(1)求证:CF∥平面AEB
1
;(2)求三棱锥C-AB
1
E的体积.
题型:不详
难度:
|
查看答案
棱长都是1的三棱锥的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的体积为V,点P、Q分别在侧棱AA
1
和CC
1
上,AP=C
1
Q,则四棱锥B﹣APQC的体积为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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