抛物线x2=ay（a＞0）的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒π12弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于______．

题型：不详难度：来源：

抛物线x²=ay（a＞0）的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒

π

12

弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于______．

答案

根据抛物线的方程x²=ay，得到p=

a

4

，
所以此抛物线的准线方程为y=-

a

4

，P坐标为（0，-

a

4

），
令恒过P点的直线y=kx-

a

4

与抛物线相切，
联立直线与抛物线得

y= x2 a y=kx- a 4

，
消去y得：

x2

a

-kx+

a

4

=0，得到△=k²-1=0，即k²=1，
解得：k=1或k=-1，
由直线l绕点P逆时针旋转，k=-1不合题意，舍去，
则k=1，此时直线的倾斜角为

π

4

，又P的角速度为每秒

π

12

弧度，
所以直线l恰与抛物线第一次相切，则t=

π 4

π 12

=3．
故答案为：3