如图所示棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=,且PD是四棱锥的高. (1)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;(2)

如图所示棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=,且PD是四棱锥的高. (1)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;(2)

题型:不详难度:来源:
如图所示棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=,且PD是四棱锥的高.

(1)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;
(2)求四棱锥外接球的半径.
答案
(1)球的最大半径为.(2)四棱锥外接球的半径为
解析
(1)设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设球心为S,连结SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为R.
VP—ABCD=·SABCD·PD=·a·a·a=a3
SPAD=SPDC=·a·a=a2
SPAB=SPBC=·a·=
=a2
VP—ABCD=VS—PDA+VS—PDC+VS—ABCD+VS—PAB+VS—PBC,
R(SPAD+SPDC+SPAB+SPBC+SABCD),

所以
,
即球的最大半径为
(2)设PB的中点为F.
因为在Rt△PDB中,FP=FB=FD,
在Rt△PAB中,FA=FP=FB,
在Rt△PBC中,FP=FB=FC,
所以FP=FB=FA=FC=FD.
所以F为四棱锥外接球的球心,
则FP为外接球的半径.
因为FB=PB,所以FB=.
所以四棱锥外接球的半径为
举一反三
如图所示几何体是一棱长为4 cm的正方体,若在它的各个面的中心位置上,各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔,求打孔后几何体的表面积是多少?(π=3.14)
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一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是cm.(1)求三棱台的斜高;(2)求三棱台的侧面积与表面积.
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在球内有相距1 cm的两个平行截面,截面面积分别是5π cm2和8π cm2,球心不在截面之间,求球面的面积.
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如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm,高为20 cm的一个圆锥形铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降几厘米?(π=3.14)
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如图1-3-13,长方体ABCD—A1B1C1D1中,交于顶点A的三条棱长分别为AD=3,AA1=4,AB=5,则从A点沿表面到C1的最短距离为(    )

图1-3-13
A.B.C.D.

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