正方形ABCD的边长为2,点E、F分别在边AB、BC上,且AE=1,BF=12,将此正方形沿DE、DF折起,使点A、C重合于点P,则三棱锥P-DEF的体积是(
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正方形ABCD的边长为2,点E、F分别在边AB、BC上,且AE=1,BF=12,将此正方形沿DE、DF折起,使点A、C重合于点P,则三棱锥P-DEF的体积是(
题型:不详
难度:
来源:
正方形ABCD的边长为2,点E、F分别在边AB、BC上,且AE=1,BF=
1
2
,将此正方形沿DE、DF折起,使点A、C重合于点P,则三棱锥P-DEF的体积是( )
A.
1
3
B.
5
6
C.
2
3
9
D.
2
3
答案
根据题意知DP⊥PE,DP⊥PF,PE∩PF=P,
∴DP⊥面PEF,
而DP=2,EF=
5
2
,PE=1,PF=
3
2
,
由余弦定理得cos∠PEF=
1+
5
4
-
9
4
2×1×
3
2
=0,
∴sin∠PEF=1,∴
S
△EPF
=
1
2
PE•EF=
1
2
×1×
5
2
=
5
4
,
∴V
P-DEF
=V
D-PEF
=
1
3
×2×
5
4
=
5
6
,
故选B.
⇒
举一反三
如图,在平行六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知AB=5,AD=4,AA
1
=3,AB⊥AD,∠A
1
AB=∠A
1
AD=
π
3
.
(Ⅰ)求证:顶点A
1
在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;
(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知平面α∩β=l,A、B是l上的两个点,C、D在平面β内,且DA⊥α,CB⊥α,AD=4,AB=6,BC=8,在平面α上有一个动点P,使得∠APD=∠BPC,则P-ABCD体积的最大值是( )
A.
24
3
B.16
C.48
D.144
题型:不详
难度:
|
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一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,-2,-3),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1),则该四面体的体积为( )
A.1
B.
1
2
C.
1
3
D.
1
6
题型:不详
难度:
|
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已知球的直径PQ=4,A、B、C是该球球面上的三点,△ABC是正三角形.∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°,则棱锥P-ABC的体积为( )
A.
3
4
3
B.
9
4
3
C.
3
2
3
D.
27
4
3
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,其中
AB=
2
2
,DC=
2
,AD=1
,AD⊥AB,顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上,F是PC的中点.
(Ⅰ)求证:BF
∥
平面PAD;
(Ⅱ)求证:平面PAC⊥平面PDB;
(Ⅲ)若PA=PC=1,求三棱锥P-DBF的体积.
题型:不详
难度:
|
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