已知球的直径PQ=4,A、B、C是该球球面上的三点,△ABC是正三角形.∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°,则棱锥P-ABC的体积为( )A.343B.94
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已知球的直径PQ=4,A、B、C是该球球面上的三点,△ABC是正三角形.∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°,则棱锥P-ABC的体积为( )A.343B.94
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已知球的直径PQ=4,A、B、C是该球球面上的三点,△ABC是正三角形.∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°,则棱锥P-ABC的体积为( )
A.
3
4
3
B.
9
4
3
C.
3
2
3
D.
27
4
3
答案
设球心为M,三角形ABC截面小圆的圆心为0,
∵ABC是等边三角形,∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°
∴P在面ABC的投影O是等边△ABC的重心(此时四心合一)
∵PQ是直径
,
∴∠PCQ=90°.
∴PC=4cos30°=2
3
,
∴PO=2
3
•cos30°=3.
OC=2
3
sin30°=
3
O是等边△ABC的重心
∴OC=
2
3
OH
∴等边三角形ABC的高OH=
3
3
2
,
AC=
3
3
2
sin60°=3.
三棱锥P-ABC体积=
1
3
PO•S
△ABC
=
1
3
×
3×
1
2
×
3
3
2
×3
=
9
3
4
.
故选:B.
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,其中
AB=
2
2
,DC=
2
,AD=1
,AD⊥AB,顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上,F是PC的中点.
(Ⅰ)求证:BF
∥
平面PAD;
(Ⅱ)求证:平面PAC⊥平面PDB;
(Ⅲ)若PA=PC=1,求三棱锥P-DBF的体积.
题型:不详
难度:
|
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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中.
(1)求证:AC⊥平面B
1
BDD
1
;
(2)求三棱锥B-ACB
1
体积.
题型:不详
难度:
|
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在三棱锥A-BCD中,AB,AC,AD两两互相垂直,AB=AC=AD=4.点P,Q分别在侧面ABC,棱AD上运动.PQ=2,M为线段PQ的中点,当P,Q运动时,点M的轨迹把三棱锥A-BCD分成两部分的体积之比等于( )
A.1:63
B.1:(16
2
-1
)
C.π:(64-π)
D.π:(14-π)
题型:不详
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|
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长方体的体积为定值V,则其表面积的最小值是( )
A.
3
V
1
3
B.
6
V
2
3
C.V
2
D.V
3
题型:不详
难度:
|
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底面半径为1,高为
3
的圆锥,其内接圆柱的底面半径为R,内接圆柱的体积最大时R值为______.
题型:不详
难度:
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