如图,已知平面α∩β=l,A、B是l上的两个点,C、D在平面β内,且DA⊥α,CB⊥α,AD=4,AB=6,BC=8,在平面α上有一个动点P,使得∠APD=∠B

如图,已知平面α∩β=l,A、B是l上的两个点,C、D在平面β内,且DA⊥α,CB⊥α,AD=4,AB=6,BC=8,在平面α上有一个动点P,使得∠APD=∠B

题型:不详难度:来源:
如图,已知平面α∩β=l,A、B是l上的两个点,C、D在平面β内,且DA⊥α,CB⊥α,AD=4,AB=6,BC=8,在平面α上有一个动点P,使得∠APD=∠BPC,则P-ABCD体积的最大值是(  )
A.24


3
B.16C.48D.144

答案
由题意平面α⊥平面β,A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点,DA⊂β,CB⊂β,且DA⊥α,CB⊥α,
∴△PAD与△PBC是直角三角形,又∠APD=∠BPC,∴△PAD△PBC,又AD=4,BC=8,∴PB=2PA.
作PM⊥AB,垂足为M,则PM⊥β,令AM=t∈R,在两个Rt△PAM与Rt△PBM中,PM是公共边及PB=2PA,∴PA2-t2=4PA2-(6-t)2 ,解得PA2=12-4t.
∴PM=


12-4t-t2
,即四棱锥的高为


12-4t-t2
,底面为直角梯形,S=
1
2
×(4+8)×6
=36
∴四棱锥P-ABCD的体积V=
1
3
×36×


12-4t-t2
=12


16-(t+2)2
≤12×


16
=48,
即四棱锥P-ABCD体积的最大值为48,
故选C.
举一反三
一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,-2,-3),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1),则该四面体的体积为(  )
A.1B.
1
2
C.
1
3
D.
1
6
题型:不详难度:| 查看答案
已知球的直径PQ=4,A、B、C是该球球面上的三点,△ABC是正三角形.∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°,则棱锥P-ABC的体积为(  )
A.
3
4


3
B.
9
4


3
C.
3
2


3
D.
27
4


3
题型:不详难度:| 查看答案
如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,其中AB=


2
2
,DC=


2
,AD=1
,AD⊥AB,顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上,F是PC的中点.
(Ⅰ)求证:BF平面PAD;
(Ⅱ)求证:平面PAC⊥平面PDB;
(Ⅲ)若PA=PC=1,求三棱锥P-DBF的体积.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)求证:AC⊥平面B1BDD1
(2)求三棱锥B-ACB1体积.
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在三棱锥A-BCD中,AB,AC,AD两两互相垂直,AB=AC=AD=4.点P,Q分别在侧面ABC,棱AD上运动.PQ=2,M为线段PQ的中点,当P,Q运动时,点M的轨迹把三棱锥A-BCD分成两部分的体积之比等于(  )
A.1:63B.1:(16


2
-1
C.π:(64-π)D.π:(14-π)
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