正四面体的内切球(与正四面体的四个面都相切的球)与外接球(过正四面体四个顶点的球)的体积比为( )A.1:3B.1:9C.1:27D.与正四面体的棱长无关
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正四面体的内切球(与正四面体的四个面都相切的球)与外接球(过正四面体四个顶点的球)的体积比为( )A.1:3B.1:9C.1:27D.与正四面体的棱长无关
题型:不详
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正四面体的内切球(与正四面体的四个面都相切的球)与外接球(过正四面体四个顶点的球)的体积比为( )
A.1:3
B.1:9
C.1:27
D.与正四面体的棱长无关
答案
过点D作DE⊥平面ABC,垂足为E,则E是正三角形ABC的中心
则根据球的对称性和正四面体的性质,得外接球和内切球的球心在同一点处,设为I,则I在高线DE上
延长CE,交AB于G,连接DG,过C作DG边上的高CF,则I在CF上
I到平面ABC的距离IE等于内切球半径r,ID=IC=R是外接球半径
设正四面体棱长为1,则
正△ABC中,CG=
3
2
,CE=
2
3
CG═
3
3
,GE=
1
3
CG=
3
6
,
Rt△DEG中,DG=CG=
3
2
,可得DE=
D
G
2
-G
E
2
=
6
3
∵Rt△DEG
∽
Rt△CEI,
∴
EG
EI
=
DE
CE
,即
3
6
:EI=
6
3
:
3
3
,可得EI=
6
12
,所以ID=DE-EI=
6
4
即r=
6
12
,R=
6
4
,
可得
R
r
=1:3,体积比为1:27.
故选C.
举一反三
如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AC=AB=AA
1
=2,∠BAC=90°,点D是棱B
1
C
1
的中点.
(Ⅰ)求证:A
1
D⊥平面BB
1
C
1
C;
(Ⅱ)求三棱锥B
1
-ADC的体积.
题型:不详
难度:
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32π
3
,则这个三棱柱的体积是______.
题型:西山区模拟
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2
.
题型:浦东新区一模
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底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为______cm
2
.
题型:不详
难度:
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1
2
r(a+b+c),根据类比思想,若四面体的内切球半径为R,四个面的面积分别为S
1
、S
2
、S
3
、S
4
,则此四面体的体积V=______.
题型:不详
难度:
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