(Ⅰ)(方法一)证明:设G是线段DA与线段EB延长线的交点, 由于△OAB与△ODE都是正三角形,所以OB∥,OB=,OG=OD=2 同理,设G′是线段DA与线段FC延长线的交点,有OG′=OD=2, 又由于G和G′都在线段DA的延长线上,所以G与G′重合。 在△GED和△GFD中,由OB∥,OB=和OC∥, OC=, 可知B,C分别是GE和GF的中点, 所以BC是△GEF的中位线, 故BC∥EF.
(方法二)过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,连QE, 由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED, 以Q为坐标原点,为x轴正向,为y轴正向,为z轴正向,建立空间直角坐标系。 由条件知E(,0,0),F(0,0,),B(,-,0), C(0,-),)。 则有,.。 所以,即得BC∥EF.
(Ⅱ)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知SEOB= 而△OED是边长为2的正三角形,故SOED= 所以SOBED=SEOB+SOED=。 过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q, 由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱锥F-OBED的高,且FQ=, 所以VF-OBED=FQ·SOBED=。 |