已知多面体ABCDFE中， 四边形ABCD为矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD，O、M分别为AB、FC的中点，且AB=2，AD=EF=1。

题型：河北省期末题难度：来源：

已知多面体ABCDFE中， 四边形ABCD为矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD，O、M分别为AB、FC的中点，且AB=2，AD=EF=1。
（Ⅰ）求证：AF⊥平面FBC；
（Ⅱ）求证：OM∥平面DAF；
（Ⅲ）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD∶V_F-CBE的值。

答案

解：（Ⅰ）∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
BC平面ABCD，而四边形ABCD为矩形
∴BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEF
∵AF平面ABEF
∴BC⊥AF，
∵BF⊥AF，BC∩BF=B，
∴AF⊥平面FBC；
（Ⅱ）取FD中点N，连接MN、AN，则MN∥CD，
且MN=CD，又四边形ABCD为矩形，
∴MN∥OA，且MN=OA，
∴四边形AOMN为平行四边形，
∴OM∥AN，
又∵OM平面DAF，ON平面DAF
∴OM∥平面DAF；
（Ⅲ）过F作FG⊥AB与G，
由题意可得：FG⊥平面ABCD，
∴V_F-ABCD =S_矩形ABCD·FG=FG
∵CF⊥平面ABEF
∴V_F-CBE=V_C-BFE =S_△BFE·CB==FG，
∴V_F-ABCD∶V_F-CBE=4∶ 1。