如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，AB=2，M，N分别是棱CC1，AB中点， （Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB

题型：北京期末题难度：来源：

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AA₁=4，AB=2，M，N分别是棱C
C₁，AB中点，
（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB₁；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-AMN的体积。

答案

（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，
又因为平面ABC，
所以，
因为，N是AB中点，
所以CN⊥AB，
因为，
所以CN⊥平面ABB₁A₁。（Ⅱ）证明：取AB₁的中点G，连结MG，NG，
因为N，G分别是棱AB，AB₁中点，
所以，
又因为，
所以CM∥NG，CM=NG，
所以四边形CNGM是平行四边形，
所以CN∥MG，
因为，
所以CN∥平面AMB₁。（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知GM⊥平面，
所以。