已知四棱锥P-ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点，（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积； （Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论。

题型：山西省模拟题难度：来源：

已知四棱锥P-ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点，
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论。

答案

解：（Ⅰ）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴，
即四棱锥P-ABCD的体积为； （Ⅱ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE；
证明：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵PC⊥底面ABCD，
∴BD⊥PC，
又∵AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC，
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE。