在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,点M是BC的中点,点N是AA1的中点。(1)求证:MN∥平面A1CD; (2)过N,C,D三点

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,点M是BC的中点,点N是AA1的中点。(1)求证:MN∥平面A1CD; (2)过N,C,D三点

题型:专项题难度:来源:
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,点M是BC的中点,点N是AA1的中点。

(1)求证:MN∥平面A1CD;
(2)过N,C,D三点的平面把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值。
答案
解:(1)设点P为A的中点,连接MP,NP
∵点M是BC的中点,
∴MP∥CD
∵CD平面A1CD,MP平面A1CD,
∴MP∥平面A1CD
∵点N是AA1的中点,
∴NP∥A1D
∵A1D平面A1CD,NP平面A1CD,
∴NP∥平面A1CD
∵MP∩NP=P,MP平面MNP,NP平面MNP,
∴平面MNP∥平面A1CD
∵MN平面MNP,
∴MN∥平面A1CD。(2)取BB1的中点Q,连接NQ,CQ
∵点N是AA1的中点,
∴NQ∥AB
∵AB∥CD,
∴NQ∥CD
∴过N,C,D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A1B1C1D截成两部分几何体,其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD,另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1

∴直三棱柱QBC-NAD的体积V1=S△QBC·AB=
∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2,
∴直四棱柱B1QCC1-A1NDD1体积V2=V-V1=

∴所截成的两部分几何体的体积的比值为
举一反三
如图,四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形,点E是A′A的中点,A′A⊥平面ABCD,
(Ⅰ)计算:多面体A′B′BAC的体积;
(Ⅱ)求证:A′C∥平面BDE;
(Ⅲ)求证:平面A′AC⊥平面BDE。
题型:福建省模拟题难度:| 查看答案
已知某几何体的三视图如图所示,则它的体积为(    )。
题型:天津模拟题难度:| 查看答案
一个几何体的三视图如图所示,则其体积等于
[     ]
A.2
B.1
C.
D.
题型:北京模拟题难度:| 查看答案
如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为2,那么这个几何体的体积为
[     ]
A.
B.
C.4
D.8
题型:北京模拟题难度:| 查看答案
四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,且PD垂直于底面ABCD,N为PB中点,则三棱锥P-ANC与四棱锥 P-ABCD的体积比为

[     ]

A.1:2
B.1:3
C.1:4
D.1:8
题型:模拟题难度:| 查看答案
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