如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。(1)求三棱锥D1-DBC的体积；(2)证明：BD1∥平面C1DE； (

题型：期末题难度：来源：

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。
(1)求三棱锥D₁-DBC的体积；
(2)证明：BD₁∥平面C₁DE；
(3)求面C₁DE与面CDE所成二面角的正切值。

答案

（1）解：∵BC=CD=2，
∴S_△BCD=×2×2=2，
又∵DD₁=1，
∴三棱锥D₁-DBC的体积。
（2）证明：设C₁D∩CD₁=F，连结EF，
∵E为BC的中点，F为CD₁的中点，
∴EF是△BCD₁的中位线，
∴EF∥BD₁，
又BD₁在平面C₁DE外，EF在平面C₁DE内，
∴BD₁∥平面C₁DE。
（3）解：过C作CG⊥DE交DE于G，连结C₁G，则DE⊥C₁G，
∴∠C₁GC是二面角C₁-DE-C的一个平面角，
在Rt△CDE中，CD=2，CE=1，DE=，
∴CG=，
又∵CC₁=1，△CC₁G是直角三角形，
∴。