(方法1)以A为原点,AD所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,以四边形ABCD的边长为单位长度建立空间直角坐标系.设P(0,0,h). (I)=(1,1,-h),=(-1,1,0),•=(1,1,-h)•(-1,1,0)=0,所以PC⊥DB.(4′) (II)∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥DB.又PC⊥DB, ∴DB⊥面CPA,所以面CPA的一个法向量是=(-1,1,0).(6′) =(-1,0,h),=(0,1,0). 设面CPD的一个法向量为=(x,y,1), 则有•=(-1,0,h)•(x,y,1)=-x+h=0,•=(0,1,0)•(x,y,1)=y=0.所以=(h,0,1).(8′)cos〈,>==.(10′) 由于二面角D-PC-A的平面角与〈,>相等或互补,∴=cos60°=, ∴h=1.即当AP的长度为1时,二面角D-PC-A的大小为60°(12′) (方法2)(I)∵PA⊥面ABCD∴PC在面ABCD内的射影是AC.四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,由三垂线定理得PC⊥BD.(4′) (II)设AC、BD交于E.在面CPA内,作EF⊥CP于F,连接DF. ∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥DB. 又PC⊥DB,∴DB⊥面CPA,EF是DF在面CPA上的射影,由三垂线定理得DF⊥CP.∠DEF就是二面角A-PD′-C的平面角(8′). 由△CFE~△CAP,得EF==, ∴tan∠DFE==. 解得AP=1.即当AP的长度为1时,二面角D-PC-A的大小为60°.(12′)
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