已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．(Ⅰ)求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；(Ⅱ)求二面角

题型：四川省高考真题难度：来源：

已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．
(Ⅰ)求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小；
(Ⅲ)求三棱锥M-OBC的体积．

答案

(Ⅰ)证明：连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK，
因为点M是棱AA′的中点，点D是BD′的中点，
所以，所以，
由AA′⊥AK，得MO⊥AA′，
因为AK⊥BD，AK⊥BB′，
所以AK⊥平面BDD′B′，
所以AK⊥BD′，所以MO⊥BD′，
又因为OM与异面直线AA′和BD′都相交，
故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线．
(Ⅱ)解：取BB′的中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC′B′，
过点N作NH⊥BC′于H，连结MH，则由三垂线定理得，BC′⊥MH，
从而，∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角，
，
在Rt△MNH中，，
故二面角M-BC′-B′的大小为。
(Ⅲ)解：易知，S_△OBC=S_△OA′D′，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内，
点O到平面MA′D′的距离，
。