如图:在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点,且PA=AB=2.(I)证明:BC⊥平面
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如图:在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点,且PA=AB=2.(I)证明:BC⊥平面
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如图:在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点,且PA=AB=2.
(I)证明:BC⊥平面AMN;
(II)求三棱锥N-AMC的体积;
(III)在线段PD上是否存在一点E,使得NM
∥
平面ACE;若存在,求出PE的长;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)证明:∵ABCD为菱形,
∴AB=BC
又∠ABC=60°,
∴AB=BC=AC,
又M为BC中点,∴BC⊥AM
而PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC
又PA∩AM=A,∴BC⊥平面AMN
(II)∵
S
△AMC
=
1
2
AM•CM=
1
2
×
3
×1=
3
2
又PA⊥底面ABCD,PA=2,∴AN=1
∴三棱锥N-AMC的体积
V=
1
3
S
△AMC
•AN
=
1
3
×
3
2
×1=
3
6
(III)存在点E,
取PD中点E,连接NE,EC,AE,
∵N,E分别为PA,PD中点,
∴
NE
∥
.
.
1
2
AD
又在菱形ABCD中,
CM
∥
.
.
1
2
AD
∴
NE
∥
.
.
MC
,即MCEN是平行四边形
∴NM
∥
EC,
又EC⊂平面ACE,NM⊄平面ACE
∴MN
∥
平面ACE,
即在PD上存在一点E,使得NM
∥
平面ACE,
此时
PE=
1
2
PD=
2
.
举一反三
正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E为DD
1
的中点,则BD
1
与过ACE的平面的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.垂直
D.线在面内
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A∈平面α.AB=5,AC=
2
2
,若AB与α所成角正弦值为0.8,AC与α成45
0
角,则BC距离的范围( )
A.
[
5
,
29
]
B.
[
37
,
61
]
C.
[
5
,
61
]
D.
[
5
,
29
]
∪
[
37
,
61
]
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已知直线l、m,平面α、β且l⊥α,m⊂β给出下列四个命题,其中正确的是______
①若α
∥
β则l⊥m
②若α⊥β则l
∥
m
③若l⊥m则α
∥
β
④若l
∥
m则α⊥β
题型:不详
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对于平面α,β,γ和直线a,b,m,n,下列命题中真命题是( )
A.若a⊥m,a⊥n,m⊂α,n⊂α,则a⊥α
B.若α
∥
β,α∩γ=a,β∩γ=b则a
∥
b
C.若a
∥
b,b⊂α,则a
∥
α
D.若a⊂β,b⊂β,a
∥
α,b
∥
α,则β
∥
α
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已知a、b为空间中不同的直线,α、β、γ为不同的平面,下列命题中正确命题的个数是( )
(1)若a
∥
α,a⊥b,则b⊥α;
(2)α
∥
β,α⊥γ,则β⊥γ;
(3)若a
∥
β,b
∥
β,a,b⊂α,则α
∥
β
(4)α⊥β,a⊥β,则a
∥
α
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:不详
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