如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.(1)求证:BE∥平面

如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.(1)求证:BE∥平面

题型:不详难度:来源:
如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.
(1)求证:BE平面PDF;
(2)求证:平面PDF⊥平面PAB;
(3)求二面角P-BC-A的大小.
答案
证明:(1)取PD的中点M,
∵E是PC的中点
∴ME是△PCD的中位线
∴MEFB
∴四边形MEBF是平行四边形∴BEMF
∵BE⊄平面PDF,MF⊂平面PDF
∴BE平面PDF.
(2)连接BD,易得△ABD为等边三角形
又由F为AB的中点
∴DF⊥AB
又∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥DF
又由PA∩AB=A
∴DF⊥平面PAB
又∵DF⊂平面PDF
∴平面PDF⊥平面PAB.
(3)过点A做AH⊥CB延长线于H,因为PA⊥面ABCD,所以PH⊥BC,既∠PHA为二面角P-BC-A的平面角,
在Rt△ABC中PA=1,AH=


3
,所以∠PHA=30°
既二面角P-BC-A的大小为30°.
举一反三
如图:已知四边形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,点E,F分别是线段PB,AD的中点
(1)求证:FE平面PCD;
(2)求异面直线DE与AB所成的角的余弦值.
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如图,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E、F分别为PA、BC的中点.
求证:EF平面PCD.
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点.求证:
(1)BD1平面EAC;
(2)平面EAC⊥平面AB1C.
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如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别为AB、PC的中点;
(Ⅰ)求证:MN平面PAD;
(Ⅱ)求证:MN⊥CD.
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已知AB与CD为异面线段,CD⊂平面α,ABα,M、N分别是线段AC与BD的中点,求证:MN平面α.
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