已知AB与CD为异面线段,CD⊂平面α,AB∥α,M、N分别是线段AC与BD的中点,求证:MN∥平面α.
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已知AB与CD为异面线段,CD⊂平面α,AB∥α,M、N分别是线段AC与BD的中点,求证:MN∥平面α.
题型:不详
难度:
来源:
已知AB与CD为异面线段,CD⊂平面α,AB
∥
α,M、N分别是线段AC与BD的中点,求证:MN
∥
平面α.
答案
证明:如图:根据已知AB与CD为异面线段,可得A、B、C、D不共面.
连结AD,并取AD中点E,可得M、N、E不共线,故M、N、E确定一个平面.
∵N是BD的中点,∴NE
∥
AB.
又AB
∥
α,∴NE
∥
α.
∵M是AC的中点,∴ME
∥
CD,再由CD⊂平面α,ME不在平面α内,可得ME
∥
α,
∵ME∩NE=E,∴平面MEN
∥
平面α,∴MN
∥
平面α.
举一反三
如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2BC,P、Q分别为线段AB、CD的中点,EP⊥底面ABCD.
(1)求证:AQ
∥
平面CEP;
(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP;
(3)若EP=AP=1,求三棱锥E-AQC的体积.
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是SA上一点,试探求点E的位置,使SC
∥
平面EBD,并证明.
题型:不详
难度:
|
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已知:正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
,AA
1
=2,E为棱CC
1
的中点.
(1)求证:B
1
D
1
⊥AE;
(2)求证:AC
∥
平面B
1
DE;
(3)(文)求三棱锥A-BDE的体积.
(理)求三棱锥A-B
1
DE的体积.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是底面为正方形的长方体,∠AD
1
A
1
=60°,AD
1
=4,P为AD
1
的中点,(1)求证:直线C
1
P
∥
平面AB
1
C;(2)求异面直线AA
1
与B
1
P所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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在四棱锥P-OABC中,PO⊥底面OABC,∠OCB=60°,∠AOC=∠ABC=90°,且OP=OC=BC=2.
(1)若D是PC的中点,求证:BD
∥
平面AOP;
(2)求二面角P-AB-O的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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