如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点（I）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC．

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如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点
（I）求证：QB∥平面AEC；
（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC．魔方格

答案

证明：（I）连接BD，交AC于O，连接EO，
∵E，O分别是QD、BD的中点，
∴EO∥QB，
∵EO⊂平面AEC，QB⊄平面AEC，
∴QB∥平面AEC；
（Ⅱ）∵矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，两平面的交线为AD，CD⊥AD
∴CD⊥平面ADPQ，
∵AE⊂平面ADPQ，
∴CD⊥AE
∵AD=AQ，E是QD的中点
∴AE⊥QD
∵QD∩CD=D
∴AE⊥平面QDC
∵AE⊂平面AEC，
∴平面QDC⊥平面AEC．

举一反三

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（1）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（2）求证：平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁．魔方格

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如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E在棱CD上移动．
（Ⅰ）当点E为CD的中点时，试判断直线EF与平面PAC的关系，并说明理由；
（Ⅱ）求证：PE⊥AF．魔方格

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在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为AC的中点，AB=2．
（I）求证：BD₁∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：B₁O⊥平面ACM；
（Ⅲ）求三棱锥O-AB₁M的体积．魔方格

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如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

，D为棱CC₁的中点．
（I）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求三棱锥A-A₁B₁O的体积；
（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？证明你的结论．魔方格

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如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，点D是BC的中点．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）判断在线段B₁B上是否存在一点M，使得A₁M⊥B₁D？若存在，求出

B1M

B1B

的值；若不存在，请说明理由．魔方格

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