如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)证明PA∥平面EDB;

如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)证明PA∥平面EDB;

题型:四川省期末题难度:来源:
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明PA∥平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C﹣PB﹣D的大小.
答案

解:(1)证明:连接AC,AC交BD于O,连接EO.
∵底面ABCD是正方形,
∴点O是AC的中点在△PAC中,EO是中位线,
∴PA∥EO
而EO平面EDB且PA平面EDB,
所以,PA∥平面EDB
(2)证明: ∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD,
∴PD⊥DC
∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
∴DE⊥PC.①
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC.而DE平面PDC,
∴BC⊥DE.②
由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB平面PBC,
∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E,
所以PB⊥平面EFD.
(3)解:由(2)知,PB⊥DF,
故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角.
由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a, 则


在Rt△PDB中,
在Rt△EFD中,

所以,二面角C﹣PB﹣D的大小为


举一反三
已知a、b是直线,α、β、γ是平面,给出下列命题:
①若α∥ β,aα,则a∥β;
②若a、b与α所成角相等,则a∥b;
③若α⊥β、β⊥γ,则α∥γ
④若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
其中正确的命题的序号是(    )。
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设α、β、γ是互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,给出四个命题:
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β
②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
③若m⊥α,m∥β,则α⊥β 
④若m∥α,n⊥α,则m⊥n
其中真命题的序号是(    )
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如图是正三棱柱ABC﹣A1B1C1,AA1=3,AB=2,若N为棱AB中点.
(1)求证:AC1∥平面CNB1
(2)求四棱锥C1﹣ANB1A1的体积.
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如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2.,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于(    ).
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如图是正三棱柱ABC﹣A1B1C1,AA1=3,AB=2,若N为棱AB中点.
(1)求证:AC1∥平面CNB1
(2)求四棱锥C1﹣ANB1A1的体积.
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