如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点,(Ⅰ)求证AM∥平面BDE;(Ⅱ)求证AM⊥平面BDF;(Ⅲ)求

如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点,(Ⅰ)求证AM∥平面BDE;(Ⅱ)求证AM⊥平面BDF;(Ⅲ)求

题型:浙江省高考真题难度:来源:
如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点,
(Ⅰ)求证AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求证AM⊥平面BDF;
(Ⅲ)求二面角A-DF-B的大小。
答案
解:(Ⅰ)设AC∩BD=O,连结OE,
∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,
∴四边形AOEM是平行四边形,
∴AM∥OE,
∵OE平面BDE,平面BDE,
∴AM∥平面BDE。
(Ⅱ)∵BD⊥AC,BD⊥AF,且AC交AF于A,
∴BD⊥平面AE,
又因为AM平面AE,
∴BD⊥AM,
∴AD=,AF=1,OA=1,
∴AOMF是正方形,
∴AM⊥OF,
又AM⊥BD,且OF∩BD=O,
∴AM⊥平面BDF。
(Ⅲ)设AM∩OF=H,过H作HG⊥DF于G,连结AG,
由三垂线定理得AG⊥DF,
∴∠AGH是二面角A-DF-B的平面角,


∴∠AGH=60°,
∴二面角A-DF-B的大小为60°。
举一反三
如图,在三棱柱ABC-A′B′C′中,点E、F、H、 K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点,G为△ABC的重心,从K、H、G、B′中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为
[     ]
A.K
B.H
C.G
D.B′
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已知平面α,β和直线,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③mα;④α⊥β;⑤α∥β。
(i)当满足条件(    )时,有m∥β;
(ii)当满足条件(    )时,有m⊥β,(填所选条件的序号)
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已知α,β是平面,m,n是直线,下列命题中不正确的是[     ]
A.若m∥α,α∩β=n,则m//n
B.若m∥n,α∩β=n,则n⊥α
C.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
D.若m⊥α,mβ,则α⊥β
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。
(1)证明PA//平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小。
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已知α,β是平面,m,n是直线,下列命题中不正确的是[     ]
A.若m∥α,α∩β=n,则m∥n
B.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
C.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
D.若m⊥α,mβ,则α⊥β
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