如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,(1)若F为AA1的中点,求证:EF∥平面DD1C1C;(2)若F为AA1的中点,求二面角A-E

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,(1)若F为AA1的中点,求证:EF∥平面DD1C1C;(2)若F为AA1的中点,求二面角A-E

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如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,
(1)若F为AA1的中点,求证:EF∥平面DD1C1C;
(2)若F为AA1的中点,求二面角A-EC-D1的余弦值;
(3)若F在AA1上运动(F与A,A1不重合),求当半平面D1EF与半平面ADE成的角时,线段A1F与FA的比。
答案
解:(1)如图①,连接A1B,
因为E为AB的中点,F为AA1的中点,
所以EF∥A1B,
又A1B∥D1C,
所以EF∥D1C,
因为EF平面DD1C1C,D1C平面DD1C1C,
所以EF∥平面DD1C1C。 (2)设二面角A-EC-D1的大小为θ,
设正方体的棱长为2,由(1)知F,D1,C,E四点共面,
且四边形EFD1C为等腰梯形,

所以
所以二面角A-EC-D1的余弦值为。 (3)建立如图②所示的坐标系,设正方体的棱长为2,AF=x(0<x<2),
则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,1,0),D1(0,0,2),F(2,0,x),
因为DD1⊥平面ADE,
所以取为平面ADE的法向量,
设平面D1EF的法向量为n=(x1,y1,z1),
因为(0,-1,x),
所以
取z1=2,则n=(2-x,2x,2),
因为半平面D1EF与半平面ADE成的角,
所以,
解得,即
所以线段A1F与FA的比为
举一反三
把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后,连接BD,得到如图所示的几何体,已知点D、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点,
(1)求证:AB∥平面EOF;
(2)求二面角E-OF-B的大小.
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设a,b为两条直线,α,β为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是

[     ]

A.若a,b与α所成的角相等,则a∥b
B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b
C.若aα,bβ,a∥b,则α∥β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
题型:0111 期末题难度:| 查看答案
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E为DD1的中点。
(1)求证:BD1//平面EAC;
(2)求点D1到平面EAC的距离。
题型:广东省期末题难度:| 查看答案
正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面结论中不成立的是[     ]
A.BC//平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
题型:0119 期末题难度:| 查看答案
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点。
(1)求证AC1//平面CDB1
(2)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。
题型:0119 期末题难度:| 查看答案
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