如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E为DD1的中点。（1）求证：BD1//平面EAC；（2）求点D1到平面EAC的距离。

题型：广东省期末题难度：来源：

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E为DD₁的中点。
（1）求证：BD₁//平面EAC；
（2）求点D₁到平面EAC的距离。

答案

解：（1）证明：如图，连接BD交AC于F，连EF
因为F为正方形ABCD对角线的交点
所长F为AC、BD的中点
在△DD₁B中，E、F分别为DD₁、DB的中点，
所以EF//D₁B
又EF平面EAC，
所以BD₁//平面EAC。（2）设D₁到平面EAC的距离为d
在△EAC中，EF⊥AC，且，
所以
于是
因为
又，即
解得
故D₁到平面EAC的距离为。