如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2，（1）求证：C1D∥平面ABB1A1；（2）求二

题型：贵州省模拟题难度：来源：

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2，
（1）求证：C₁D∥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角D-A₁C₁-A的余弦值。

答案

解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又A₁D⊥平面ABCD，如图，以D为原点建立空间直角体系
D-xyz，
在△ADA₁中，由已知得A₁D=，
∴D(0，0，0)，A₁(0，0，)，A(1，0，0)，
C₁(-1，1，)，
B₁(0，1，)，D₁(-1，0，)，B(1，1，0)，
∴=(1，-1，)，
设平面ABB₁A₁的法向量为m=(x₁，y₁，z₁)，
，
∴C₁D平面ABB₁A₁，
∴C₁D∥平面ABB₁A₁；
（2）设平面A₁C₁A的法向量为=(x₂，y₂，z₂)，
由，
又平面A₁C₁D的法向量为=(1，1，0)，
设二面角D-A₁C₁-A的大小为α，
∴cosα==，
∴二面角D-A₁C₁-A的余弦值为。