如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CD的中点．(1)求证：A1C∥平面AD1E；(2)在对角线A1C上是否存在点P，使得DP⊥平面AD1

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如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CD的中点．
(1)求证：A₁C∥平面AD₁E；
(2)在对角线A₁C上是否存在点P，使得DP⊥平面AD₁E？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．

答案

(1)证明：如图，连接A₁D交AD₁于点F，连接EF，
因为四边形ADD₁A₁是正方形，所以F是A₁D的中点，
又E是CD的中点，所以EF∥A₁C，
因为EF平面AD₁E，A₁C平面AD₁E，
所以A₁C∥平面AD₁E．
(2)解：在对角线A₁C上存在点P，且当时，DP⊥平面AD₁E。
证明如下：因为四边形ADD₁A₁是正方形，所以AD₁⊥A₁D，
因为CD⊥平面ADD₁A₁，AD₁平面ADD₁A₁，所以CD⊥AD₁，
又因为A₁D∩CD=D，所以AD₁⊥平面A₁CD，
因为AD₁平面AD₁E，
所以平面AD₁E⊥平面A₁CD，
作DP⊥A₁C于P，因为EF∥A₁C，所以DP⊥EF，
因为DP平面A₁CD，平面A₁CD∩平面AD₁E=EF，
所以DP⊥平面AD₁E，
由Rt△A₁CD∽Rt△DCP，得，
所以当时，DP⊥平面AD₁E。