如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于D。（Ⅰ）求证：P

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如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延长A₁C₁至点P，使C₁P=A₁C₁，连接AP交棱CC₁于D。
（Ⅰ）求证：PB₁∥平面BDA₁；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值。

答案

解：（Ⅰ）连结AB₁与BA₁交于点O，连结OD，
∵C₁D∥平面AA₁，A₁C₁∥AP，
∴AD=PD，又AO=B₁O，
∴OD∥PB₁，
又OD面BDA₁，PB₁面BDA₁，
∴PB₁∥平面BDA₁；
  （Ⅱ）过A作AE⊥DA₁于点E，连结BE
∵BA⊥CA，BA⊥AA₁，且AA₁∩AC=A，
∴BA⊥平面AA₁C₁C
由三垂线定理可知BE⊥DA₁
∴∠BEA为二面角A-A₁D-B的平面角
在Rt△A₁C₁D中，
又
∴
在Rt△BAE中，，
故二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值为。