(Ⅰ)证明:连接AC交BD于O,连接OM,
∵底面ABCD为矩形,
∴O为AC中点,
∵M,N为侧棱PC的三等分点,
∴CN= MN,∴OM∥AN,
∵OM平面MBD,AN平面MBD,
∴AN∥平面MBD。
(Ⅱ)解:如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(0,6,0),
P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2),
,
∴,
∴异面直线AN与PD所成角的余弦值为。
(Ⅲ)解:∵侧棱PA ⊥底面ABCD,
∴平面BCD的一个法向量为=(0,0,3),
设平面MBD的一个法向量为m=(x,y,z),
,并且,
∴,
令y=1,得x=2,x= -2,
∴平面MBD 的一个法刚量为m=(2,1,-2),
∴,
由图可知二面角M- BD-C的大小是锐角,
二面角M-BD-C大小的余弦值为。
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